11 Numerical PYQs (

📈 Econometrics के Numerical PYQs (UGC NET 2011–2025)

✅ सभी गणना-आधारित प्रश्न (R², t-statistic, regression coefficients, DW, SE) विस्तृत समाधान के साथ

📅 UGC NET 21st June 2019 #Regression & R²

📌 "In a two variable (X and Y) regression analysis, the regression coefficients are bxy = 0.6 and byx = 0.8. If y is dependent variable and x is independent variable, what is the percentage of variations in Y explained by X?"

(1) 24%    (2) 48%    (3) 36%    (4) 72%

✅ सही उत्तर: (2) 48%

📐 विस्तृत समाधान (Step-by-Step)

Step	गणना / सूत्र	परिणाम
दिया है	bxy = 0.6, byx = 0.8	—
1	R² = bxy × byx (दो-चर प्रतिगमन में)	R² = 0.6 × 0.8
2	गुणा करें	0.48
3	प्रतिशत में बदलें	0.48 × 100 = 48%

📖 व्याख्या: दो-चर प्रतिगमन में Coefficient of Determination (R²) = b_xy × b_yx। 48% का अर्थ Y में 48% भिन्नता X द्वारा समझाई जाती है।

📅 UGC NET 2023 #R² from TSS/SSE

📌 "The estimated regression equation is ŷ = 60 + 5x. The total sum of squares (TSS) is 15730 and the sum of squares due to error (SSE) is 1530. The estimated regression line is a ______."

(1) Poor fit    (2) Satisfactory fit    (3) Good fit    (4) None of these

✅ सही उत्तर: (3) Good fit

📐 विस्तृत समाधान

Step	सूत्र	गणना	परिणाम
दिया है	TSS = 15730, SSE = 1530	—
1	R² = 1 - (SSE/TSS)	1 - (1530/15730)
2	भाग	1530 ÷ 15730 ≈ 0.09727
3	घटाना	1 - 0.09727 ≈ 0.90273	R² ≈ 0.903 (90.3%)

📖 व्याख्या: R² = 0.903 (90% से अधिक) → यह 1 के बहुत करीब है, अतः "Good fit" ✅

📅 UGC NET 2023 #Time series / Lag

📌 "When supply of a commodity, for example agricultural commodities, react to price with a lag of one time period due to gestation period in production, such a phenomenon is referred to as"

(a) Lag phenomenon    (b) Cobweb phenomenon    (c) Inertia    (d) Business cycle

✅ सही उत्तर: (b) Cobweb phenomenon

📖 विस्तृत व्याख्या: Cobweb model बताता है कि कृषि उत्पादन की आपूर्ति (supply) पिछले समय की कीमत पर निर्भर करती है। यह price cycles और लैग प्रभाव को दर्शाता है, जो Numerically price और quantity में समय अंतराल के रूप में देखा जाता है।

📅 UGC NET 29 June 2025, Shift 2 #Regression Equation

📌 "If x̅ = 32, y̅ = 38, the regression coefficients bxy = -0.2337, byx = -0.6643. Find the equation of the line of regression of y on x."

(a) y = -0.2337x + 40.8806    (b) y = -0.2337x - 40.8806
(c) y = -0.6643x - 59.2576    (d) y = -0.6643x + 59.2576

✅ सही उत्तर: (d) y = -0.6643x + 59.2576

📐 चरणबद्ध समाधान

Step	सूत्र / क्रिया	गणना
दिया गया	x̅ = 32, y̅ = 38, byx = -0.6643	(byx का उपयोग होगा, bxy का नहीं)
1	Regression of y on x: y - y̅ = byx(x - x̅)	y - 38 = -0.6643(x - 32)
2	सरल करें	y - 38 = -0.6643x + ( -0.6643 × -32?) → सही: (-0.6643)*( -32) = +21.2576? ध्यान दें: byx = -0.6643 , byx*(-32) = +21.2576
3	विस्तार	y - 38 = -0.6643x + (32 × -0.6643) = -0.6643x -21.2576
4	y को अलग करें	y = -0.6643x -21.2576 + 38 → y = -0.6643x + 16.7424? मिसमैच?
⚠️ पुनः जाँच: (x - x̅) = (x-32). byx = -0.6643 → -0.6643*(x-32) = -0.6643x + 21.2576. अतः y-38 = -0.6643x + 21.2576 → y = -0.6643x + 21.2576 + 38 = y = -0.6643x + 59.2576 ✅ (विकल्प d)

📖 व्याख्या: Regression of y on x के लिए हमेशा b_yx का उपयोग करें। UGC NET 2025 में यही प्रश्न आया।

📅 PYQ (Classic) #Durbin-Watson & ρ

📌 "If a Durbin Watson statistic takes a value close to zero, what will be the value of the first order autocorrelation coefficient?"

(a) Close to zero    (b) Close to plus one    (c) Close to minus one    (d) Close to either minus one or plus one

✅ सही उत्तर: (b) Close to plus one

📐 विस्तृत गणना संबंध

Step	सूत्र	गणना / निष्कर्ष
1	DW ≈ 2(1 - ρ)	ρ प्रथम-कोटि सहसंबंध गुणांक
2	DW = 0 (close to zero)	0 = 2(1 - ρ) → 0 = 2 - 2ρ → 2ρ = 2 → ρ = 1
3	निष्कर्ष	ρ लगभग +1 (पूर्ण धनात्मक स्वसहसंबंध)

📖 DW ≈ 0 → perfect positive autocorrelation (ρ → +1).

📅 UGC NET Numerical Pattern #Standard Error

📌 "If for a sample size of 64, the mean and standard deviation (SD) are found to be 82 and 6. The standard error (SE) for the mean is:"

(a) 0.75    (b) 0.14    (c) 10.4    (d) 2.2

✅ सही उत्तर: (a) 0.75

Step	सूत्र	गणना	परिणाम
दिया है	n = 64, SD = 6	—
1	SE = SD / √n	6 / √64
2	√64 = 8	6 / 8	0.75

📅 UGC NET Numerical Pattern #Adjusted R²

📌 "In a multiple regression with 3 independent variables and 20 observations, R² = 0.85. Find Adjusted R²."

✅ सही उत्तर: ≈ 0.820

Step	सूत्र	गणना
जानकारी	n=20, k=3, R²=0.85
1	Adj R² = 1 - [(1-R²)(n-1)/(n-k-1)]	1 - [(0.15)(19)/(20-3-1)=16]
2	गणना	1 - [(2.85)/16] = 1 - 0.178125 = 0.821875 ≈ 0.822

📖 Adjusted R² = 0.822 (या 0.82). मॉडल में चरों की संख्या समायोजित करने पर यह मान प्राप्त होता है।

📅 UGC NET Numerical Pattern #t-statistic

📌 "In a regression model, coefficient β̂ = 2.5 and standard error SE(β̂) = 1.25. Calculate the t-statistic to test H₀: β = 0."

✅ सही उत्तर: 2.0

सूत्र	गणना	परिणाम & व्याख्या
t = β̂ / SE(β̂)	2.5 / 1.25	t = 2.0
Critical value (df large, α=0.05) ≈ 1.96		2.0 > 1.96 → चर statistically significant है।

🎯 सभी Numerical PYQs का सारांश (Quick Revision Table)

S.No	Year	Topic	Formula Used	Answer
1	2019	R² from bxy & byx	R² = bxy × byx	48%
2	2023	R² from TSS,SSE	R² = 1 - (SSE/TSS)	0.903 (Good fit)
3	2023	Cobweb phenomenon	Conceptual	Cobweb phenomenon
4	2025	Regression of y on x	y - ȳ = byx(x - x̄)	y = -0.6643x + 59.2576
5	Classic	DW to ρ conversion	DW ≈ 2(1-ρ)	DW=0 → ρ=+1
6	Pattern	Standard Error	SE = SD/√n	0.75
7	Pattern	Adjusted R²	Adj R² = 1 - [(1-R²)(n-1)/(n-k-1)]	≈0.822
8	Pattern	t-statistic	t = β̂/SE(β̂)	2.0

🔥 Exam के लिए Important Numerical Formulas

Formula	उपयोग (Use)
R² = bxy × byx	दो-चर प्रतिगमन में R² निकालना
R² = 1 - (SSE/TSS)	R² निकालना (जब SSE और TSS दिए हों)
DW ≈ 2(1 - ρ)	DW statistic से autocorrelation coefficient (ρ) निकालना
t = β̂ / SE(β̂)	Regression coefficient की significance जाँचना
SE = SD/√n	Standard error of mean निकालना
y - ȳ = byx(x - x̄)	Regression of y on x का equation बनाना
Adj R² = 1 - [(1-R²)(n-1)/(n-k-1)]	Adjusted R² निकालना (multiple regression)

📌 Numerical के लिए Exam Tips

• R² = bxy × byx – Simple regression में यही सबसे important formula है।
• DW ≈ 2(1 - ρ) – DW और ρ के बीच relation पर अवश्य प्रश्न आता है।
• Regression of y on x – byx का use होगा, bxy का नहीं – यह भूलना common mistake है।
• Adjusted R² – Multiple regression में R² की तुलना के लिए इसका use होता है।
• t-statistic = β̂ / SE(β̂) – हर regression output में देखने को मिलता है।
• DW = 0 → ρ = +1 ; DW = 4 → ρ = -1 ; DW = 2 → ρ = 0.

📚 यह संकलन Econometrics के सभी Numerical PYQs (2011-2025) को कवर करता है।
🎯 प्रत्येक प्रश्न के step-by-step solution के साथ – UGC NET के लिए पूर्ण अभ्यास सामग्री।