16 Econometrics (Basic Regression Models)
📐 बेसिक रिग्रेशन मॉडल्स
(Basic Regression Models)
📊 तुलना तालिका: तीनों मॉडल्स (गणितीय प्रारूप)
| फीचर | सरल रेखीय प्रतिगमन (SLR) | बहु रेखीय प्रतिगमन (MLR) | मूल-बिंदु से प्रतिगमन (RTO) |
|---|---|---|---|
| समीकरण | \( Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \) | \( Y_i = \beta_0 + \sum_{j=1}^k \beta_j X_{ji} + u_i \) | \( Y_i = \beta_1 X_i + u_i \) (No Intercept) |
| व्याख्यात्मक चर | \( 1 \) | \( k \ge 2 \) | \( 1 \) या \( k \ge 1 \) |
| प्रतिच्छेदन | \( \beta_0 \) (मौजूद) | \( \beta_0 \) (मौजूद) | अनुपस्थित \( \beta_0 = 0 \) बाध्य |
| \( R^2 \) परिसर | \( 0 \le R^2 \le 1 \) | \( 0 \le R^2 \le 1 \) | ऋणात्मक हो सकता है |
| प्रयोग स्थिति | एक X से Y का पूर्वानुमान | कई कारकों का संयुक्त प्रभाव | सैद्धांतिक रूप से \( X=0 \Rightarrow Y=0 \) |
📘 1. सरल रेखीय प्रतिगमन मॉडल (Simple Linear Regression)
🔹 मॉडल विनिर्देश (PRF):
जहाँ \( E(u_i)=0 \), \( \text{Var}(u_i)=\sigma^2 \) (समप्रसरणता), \( \text{Cov}(u_i,u_j)=0 \) (स्वसहसंबंध नहीं)।
🔹 OLS अनुमानक (न्यूनतम वर्ग विधि):
न्यूनतम करें: \( \displaystyle S = \sum_{i=1}^n (Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2 \)
प्रथम कोटि की शर्तें (FOCs):
हल करने पर OLS अनुमानक:
गॉस-मार्कोव प्रमेय (BLUE): उपर्युक्त धारणाओं के अंतर्गत \( \hat\beta_0, \hat\beta_1 \) निष्पक्ष (unbiased) एवं न्यूनतम प्रसरण वाले रेखीय अनुमानक हैं।
\[ \text{Var}(\hat\beta_1) = \frac{\sigma^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}, \quad \text{Var}(\hat\beta_0) = \sigma^2\left( \frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2} \right) \]
📌 UGC NET PYQs (Simple Regression)
हल: अनुमानित मान \( \hat Y = -10 + 0.6(40) = 14 \)
अवशिष्ट \( \hat u = Y - \hat Y = 60 - 14 = 46 \)
✅ उत्तर: \( \boxed{46} \)
हल: प्रतिगमन रेखा \( (\bar X, \bar Y) \) से गुजरती है: \( 94.5 = a + 1.5(23) \) ⇒ \( a = 94.5 - 34.5 = 60 \)
✅ उत्तर: \( \boxed{60} \)
📘 2. बहु रेखीय प्रतिगमन (Multiple Linear Regression)
मैट्रिक्स रूप: \( \mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \mathbf{u} \), जहाँ \( \mathbf{Y} (n\times 1) \), \( \mathbf{X} (n\times (k+1)) \), \( \boldsymbol{\beta} ((k+1)\times 1) \)
OLS अनुमानक: \( \hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{Y} \)
अंशशोधित \( R^2 \): \( \displaystyle \bar{R}^2 = 1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} \)
F-परीक्षण (संयुक्त सार्थकता): \( H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0 \)
\( \displaystyle F = \frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)} \sim F_{(k,\; n-k-1)} \)
📌 UGC NET PYQs (Multiple Regression)
विकल्प: (a) Z (b) χ² (c) F (d) t
✅ उत्तर: (c) F-test
व्याख्या: \( H_0: \beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=0 \) का परीक्षण F-सांख्यिकी से किया जाता है।
✅ उत्तर: त्रुटि प्रसरण \( \sigma^2 \) के निष्पक्ष अनुमान के लिए: \( \hat\sigma^2 = \frac{\sum \hat u_i^2}{n-k-1} \), जहाँ \( n-k-1 \) अवशिष्टों की स्वतंत्रता कोटि है।
📘 3. मूल-बिंदु से प्रतिगमन (Regression Through Origin - RTO)
OLS अनुमानक (RTO): न्यूनतम करें \( \sum (Y_i - \beta_1 X_i)^2 \) ⇒ \( \hat\beta_1 = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2} \)
चेतावनी: RTO में \( R^2 \) ऋणात्मक हो सकता है क्योंकि \( TSS_{\text{uncentered}} = \sum Y_i^2 \) और \( R^2_{\text{RTO}} = 1 - \frac{\sum (Y_i - \hat\beta_1 X_i)^2}{\sum Y_i^2} \)
📌 UGC NET PYQ (Intercept की प्रासंगिकता)
✅ गणितीय उत्तर:
(i) \( E(u_i)=0 \) सुनिश्चित करता है, अन्यथा OLS पक्षपाती होगा।
(ii) यदि सही मॉडल \( Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \) है और हम intercept हटा दें, तो \( \tilde\beta_1 = \frac{\sum X_i Y_i}{\sum X_i^2} \) पक्षपाती हो जाता है: \( E(\tilde\beta_1) = \beta_1 + \beta_0 \frac{\sum X_i}{\sum X_i^2} \)
(iii) \( R^2 \) की तुलना तभी वैध है जब intercept मौजूद हो।
🎯 OLS गुण एवं शास्त्रीय धारणाएँ (CLRM)
गॉस-मार्कोव धारणाएँ:
- \( E(u_i | \mathbf{X}) = 0 \) (बहिर्जातता)
- \( \text{Var}(u_i | \mathbf{X}) = \sigma^2 \) (समप्रसरणता)
- \( \text{Cov}(u_i, u_j | \mathbf{X}) = 0, \ i\neq j \) (स्वसहसंबंध का अभाव)
- \( \text{Rank}(\mathbf{X}) = k+1 \) (पूर्ण बहुसंरेखता नहीं)
परिणाम: OLS अनुमानक BLUE होते हैं।
(a) Correlated (b) Independent (c) Dependent (d) Not correlated
✅ उत्तर: (d) Not correlated अर्थात् \( \text{Cov}(X_i, u_i)=0 \)
✅ असत्य (False)
कारण: मूल बिंदु परिवर्तन से स्वतंत्र, लेकिन पैमाना परिवर्तन (scale) से स्वतंत्र नहीं होते। यदि \( X^* = cX \) तो \( \hat\beta_1^* = \hat\beta_1 / c \)।
📐 प्रतिगमन गुणांकों के गणितीय गुण
- \( b_{yx} \) और \( b_{xy} \) के चिन्ह समान होते हैं।
- \( r = \pm \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}} \) (सहसंबंध गुणांक)
- \( |b_{yx}| \cdot |b_{xy}| \le 1 \) (दोनों एक साथ 1 से अधिक नहीं हो सकते)
- \( b_{yx} = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}, \quad b_{xy} = r \cdot \frac{\sigma_X}{\sigma_Y} \)
💡 परीक्षा टिप्स (गणितीय दृष्टि से)
- RTO: यदि \( R^2 \) ऋणात्मक दिखे → तकनीकी रूप से सही, तुलना न करें।
- F-test: शब्द "Overall / Joint significance" → \( H_0: \beta_1=\beta_2=...=\beta_k=0 \)
- df: सरल प्रतिगमन df = \( n-2 \); बहु प्रतिगमन df = \( n-k-1 \)
- प्रसरण अनुमान: \( \hat\sigma^2 = \frac{\sum \hat u_i^2}{n-k-1} \) (निष्पक्ष)
🧮 RTO पर अतिरिक्त गणितीय उदाहरण
मान लीजिए \( Y_i = \beta X_i + u_i \) और डेटा: (2,5), (3,7), (5,11)
\( \hat\beta = \frac{\sum X_iY_i}{\sum X_i^2} = \frac{2\cdot5 + 3\cdot7 + 5\cdot11}{4+9+25} = \frac{10+21+55}{38} = \frac{86}{38} \approx 2.263 \)
यहाँ \( R^2_{\text{RTO}} = 1 - \frac{\sum (Y_i - 2.263X_i)^2}{5^2+7^2+11^2} \) ऋणात्मक हो सकता है, जो RTO की विशेषता है।
टिप्पणियाँ
एक टिप्पणी भेजें