11 Numerical

यहाँ सभी 11 अर्थशास्त्रियों (Hotelling से Frisch तक) से संबंधित Numerical Questions (Basic से Advanced) दिए जा रहे हैं। प्रत्येक सिद्धांत के लिए सूत्र → उदाहरण → समाधान दिया गया है। UGC NET, JRF, CUET-PG, MA Economics में पूछे जाने योग्य स्तर।

1. Harold Hotelling – Hotelling Rule (Non-renewable resources)

सूत्र: P_t+1 / P_t = 1 + r या P_t = P₀ (1 + r)^t

Numerical Q1 (Basic): तेल की वर्तमान कीमत ₹100 प्रति बैरल है। ब्याज दर 5% है। Hotelling Rule के अनुसार 2 वर्ष बाद कीमत क्या होगी?

Solution: P₂ = P₀ (1 + r)² = 100 × (1.05)² = 100 × 1.1025 = ₹110.25

Q2 (Advanced – extraction timing): एक दुर्लभ संसाधन की वर्तमान कीमत ₹50, अगले वर्ष कीमत ₹55 होने की उम्मीद। ब्याज दर 8%। क्या अभी निकालना चाहिए या अगले वर्ष?

Solution: Hotelling Rule के अनुसार 55/50 = 1.10 यानी 10% वृद्धि। ब्याज दर 8% < 10% → कीमत ब्याज दर से अधिक बढ़ रही → अगले वर्ष निकालना बेहतर।

Numerical MCQ: Hotelling rule implies if r=6%, price next year/price today = ? → (a) 1.06 (b) 0.94 (c) 1.6 (d) 0.6 → (a)

2. Ernst Engel – Engel’s Law (Expenditure shares)

सूत्र: Engel coefficient = Food expenditure / Total expenditure
Income elasticity of food = (%ΔQ_f) / (%ΔY) < 1

Q1 (Basic): एक परिवार की आय ₹10,000 से बढ़कर ₹12,000 हो जाती है। भोजन पर खर्च ₹4,000 से बढ़कर ₹4,500 हो जाता है। भोजन की आय लोच ज्ञात करें।

Solution: %ΔY = (2000/10000)×100 = 20%
%ΔQ_f = (500/4000)×100 = 12.5%
लोच = 12.5/20 = 0.625 (<1, Engel’s law पुष्टि)

Q2 (Advanced – budget share): आय ₹20,000 → भोजन पर ₹8,000 (40%)। आय ₹30,000 होने पर भोजन का नया शेयर क्या होगा यदि लोच 0.6 है?

Solution: %ΔY = (10000/20000)=50%
%ΔQ_f = 0.6 × 50% = 30%
नया भोजन खर्च = 8000 × 1.30 = ₹10,400
नया शेयर = 10400/30000 = 34.67%

Numerical MCQ: If income doubles and food expenditure increases by 50%, income elasticity is – (a) 1 (b) 0.5 (c) 2 (d) 0 → (b)

3. Jean-Baptiste Say – Say’s Law (Numerical rarely, but concept)

Q (Macro identity): एक अर्थव्यवस्था में कुल उत्पादन ₹500 करोड़ है। Say’s Law के अनुसार कुल माँग कितनी होगी?

Solution: Say’s Law: कुल माँग = कुल आपूर्ति = ₹500 करोड़ (सामान्य अधिमाँग नहीं)।

Numerical MCQ: If GDP = ₹1000, consumption = ₹700, investment = ₹250, government = ₹50, then according to Say’s law – (a) Excess demand 50 (b) Excess supply 0 (c) Excess demand 100 (d) Excess supply 50 → (b) (1000 = 700+250+50=1000)

4. David Kreps – Reputation (Numerical not typical, but game theory payoff)

Q (Prisoner’s dilemma repeated): एक बार के खेल में payoff matrix: (C,C)=3,3; (C,D)=0,5; (D,C)=5,0; (D,D)=1,1। छूट कारक δ=0.9। अनंत पुनरावृत्ति में क्या सहयोग संभव?

Solution: Grim trigger strategy से सहयोग यदि 3/(1-δ) ≥ 5 + (1×δ)/(1-δ)
3/0.1 = 30 ≥ 5 + 0.9/0.1 = 5+9=14 → सहयोग संभव।

Numerical MCQ: In repeated game, cooperation possible if discount factor δ ≥ ? For PD with payoffs above – δ ≥ (5-3)/(5-1)=2/4=0.5 → (0.5)

5. Raymond Vernon – PLC (Numerical on trade shares)

Q (Export share shift): Stage 1 (Introduction): देश A का निर्यात हिस्सा 80%, देश B का 10%। Stage 4 (Standardization): देश C का निर्यात हिस्सा 70%, A का 10%। A के हिस्से में कितनी गिरावट?

Solution: 80% → 10% = 70 अंक की गिरावट।

Numerical MCQ: If innovation country's export share falls from 90% to 20% over PLC, its loss is – (a) 70% points (b) 70% (c) 350% (d) 0.77 → (a)

6. Irving Fisher – Quantity Theory & Fisher Equation

सूत्र: MV = PY ⇒ P = (MV)/Y    i = r + π^e

Q1 (Basic – QTM): M = ₹2000, V = 4, Y = 500 इकाइयाँ। कीमत स्तर P ज्ञात करें।

Solution: P = (2000 × 4)/500 = 8000/500 = 16

Q2 (Money growth and inflation): M 5% बढ़े, Y 2% बढ़े, V स्थिर। मुद्रास्फीति दर?

Solution: %ΔP = %ΔM + %ΔV – %ΔY = 5% + 0 – 2% = 3%

Q3 (Fisher Equation): वास्तविक ब्याज दर 4% है, मुद्रास्फीति 6% है। नाममात्र ब्याज दर?

Solution: i = 4% + 6% = 10%

Numerical MCQ: If M=100, V=5, Y=200, P=? – (a) 2.5 (b) 0.4 (c) 1000 (d) 500 → (a) P=(100×5)/200=2.5

7. Alvin Hansen – IS-LM (Numerical)

सूत्र: IS: Y = C(Y-T) + I(r) + G; उदा. C = 100 + 0.8Y_d, I = 200 - 10r, G=100, T=100
LM: M/P = kY - hr; उदा. M/P = 100, k=0.2, h=5

Q1 (Find equilibrium Y and r): हल करें।

Solution: IS: Y = 100+0.8(Y-100)+200-10r+100 → Y = 100+0.8Y-80+200-10r+100 → Y = 320+0.8Y-10r → 0.2Y = 320-10r → Y = 1600-50r …(1)
LM: 100 = 0.2Y-5r → 0.2Y = 100+5r → Y = 500+25r …(2)
(1)=(2): 1600-50r = 500+25r → 1100 = 75r → r = 14.67, Y = 500+25×14.67 = 866.75

Q2 (Slope of LM): k=0.5, h=10, LM slope = ?

Solution: slope = k/h = 0.5/10 = 0.05

Numerical MCQ: If LM eqn: M/P = 0.4Y – 20r, M/P=80, then slope at Y=400 – (a) 0.02 (b) 2 (c) 0.5 (d) 0.2 → हल: 80=0.4×400-20r → 80=160-20r → 20r=80 → r=4, slope=0.4/20=0.02 → (a)

8. Lawrence Klein – Klein’s Model I (संख्यात्मक अनुमान)

मॉडल (3 समीकरण):
(1) C_t = a₀ + a₁ P_t + a₂ W_t^p + u_1t
(2) I_t = b₀ + b₁ P_t + b₂ K_t-1 + u_2t
(3) P_t = C_t + I_t + G_t (identity)

Q (Numerical – predicted C): मान लो अनुमानित Ĉ = 12 + 0.6P + 0.4W^p, P=50, W^p=100 → C = ?

Solution: C = 12 + 0.6×50 + 0.4×100 = 12+30+40 = 82

Numerical MCQ: In Klein’s model, if P=40, Wp=80, a1=0.5, a2=0.3, a0=10, then C = – (a) 10+20+24=54 → (54)

9. Trygve Haavelmo – Simultaneous Equations Bias

Q (Bias direction): सही मॉडल: Y = βX + ε, लेकिन X अंतर्जात है और ε सहसंबद्ध। OLS का पूर्वाग्रह क्या है?

Solution: OLS estimator β̂ inconsistent; bias = Cov(X,ε)/Var(X) ≠ 0

Numerical MCQ: If true β=2, but due to simultaneity OLS gives β=1.5, bias = – (a) 0.5 (b) -0.5 (c) 1.5 (d) 2 → (b) -0.5

10. Jan Tinbergen – Policy Instrument-Target Rule

सूत्र: Tinbergen’s Golden Rule – नीति निर्माण के लिए साधनों की संख्या ≥ लक्ष्यों की संख्या

Q1 (Basic): 2 लक्ष्य (मुद्रास्फीति 2%, बेरोजगारी 4%)। कितने स्वतंत्र साधन चाहिए?

Solution: कम से कम 2 स्वतंत्र साधन (जैसे मुद्रा आपूर्ति और कर दर)।

Q2 (Numerical – goal achievement): मान लो: (1) π = a – bM + cG, (2) u = d + eM – fG, लक्ष्य π=2, u=4। a,b,c,d,e,f ज्ञात हों तो M,G निकालें।

Solution: दो समीकरण, दो अज्ञात (M,G) → हल संभव यदि b,c,e,f ऐसे कि determinant ≠0।

Numerical MCQ: Tinbergen rule states that to achieve N policy targets, minimum number of instruments required is – (a) N (b) N-1 (c) N+1 (d) 2N → (a)

11. Ragnar Frisch – Impulse-Propagation Model (Numerical on cycle)

सूत्र (सरलीकृत): Y_t = α Y_t-1 + β Y_t-2 + ε_t (propagation mechanism), ε_t = impulse

Q (Cycle generation): α=1.2, β=-0.5, Y0=100, Y1=100, ε2=10, thereafter ε=0। Y2, Y3, Y4 ज्ञात करें।

Solution: Y₂ = 1.2×100 -0.5×100 +10 = 120-50+10=80
Y₃ = 1.2×80 -0.5×100 +0 = 96-50=46
Y₄ = 1.2×46 -0.5×80 +0 = 55.2-40=15.2

Numerical MCQ: In impulse-propagation model, if α=1, β=-0.8, shock ε=5, then cycle will be – (a) Explosive (b) Damped (c) Steady (d) Irregular → यहाँ characteristic roots के आधार पर damped cycle → (b)

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📊 Numerical MCQs – Mixed Practice (सभी 11 के लिए)

1. Hotelling Rule: If P0=80, r=10%, P2=? → 80×1.21=96.8
2. Engel’s Law: Income rises 25%, food expenditure rises 15%, income elasticity → 15/25=0.6
3. Say’s Law: If GDP=500, C=300, I=150, G=50, then excess demand/supply → 500 = 300+150+50 → 0
4. Fisher Equation: r=3%, i=8%, π= ? → 8-3=5%
5. IS-LM: C=50+0.6Yd, I=100-4r, G=80, T=50, M=150, k=0.5, h=10 → Y= ? हल करें
6. Klein model: C=15+0.7P+0.3Wp, P=60, Wp=90 → C=15+42+27=84
7. Haavelmo bias: True β=3, OLS β=2.5 → bias = -0.5
8. Tinbergen rule: 3 targets → minimum 3 instruments
9. Frisch impulse-propagation: Yt=1.5Yt-1-0.6Yt-2+ε, स्थिरता के लिए roots विश्लेषण

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🎯 एक पंक्ति में सूत्र (All Formulas)

अर्थशास्त्री	सूत्र
Hotelling	Pt = P0(1+r)t
Engel	ef = (%ΔQf)/(%ΔY) < 1
Fisher	MV=PY, i=r+πe
Hansen (IS-LM)	LM slope = k/h, IS slope = -(1-MPC)/(MPC×b)
Tinbergen	Instruments ≥ Targets
Klein	C = a0 + a1P + a2Wp

UGC NET, JRF, CUET-PG, MA Economics परीक्षाओं के लिए उपयोगी। सभी सामग्री मूल रूप से दी गई है।