12 Hotelling से Frisch numerical

📊 11 अर्थशास्त्री | संख्यात्मक प्रश्न (Hotelling से Frisch तक)

✅ UGC NET | JRF | CUET-PG | MA Economics स्तर · सूत्र → उदाहरण → समाधान · सभी अभ्यास प्रश्न MCQs सहित

Harold Hotelling Hotelling Rule (Non-renewable resources)

📐 सूत्र: \(\frac{P_{t+1}}{P_t} = 1 + r\) या \(P_t = P_0 (1 + r)^t\)

🔹 Numerical Q1 (Basic)

तेल की वर्तमान कीमत ₹100 प्रति बैरल है। ब्याज दर 5% है। Hotelling Rule के अनुसार 2 वर्ष बाद कीमत क्या होगी?

✅ समाधान: \(P_2 = P_0 (1 + r)^2 = 100 \times (1.05)^2 = 100 \times 1.1025 = ₹110.25\)

🔸 Q2 (Advanced – extraction timing)

दुर्लभ संसाधन की वर्तमान कीमत ₹50, अगले वर्ष कीमत ₹55 की उम्मीद। ब्याज दर 8%। क्या अभी निकालना चाहिए या अगले वर्ष?

✅ समाधान: Hotelling Rule के अनुसार \(\frac{55}{50}=1.10\) यानी 10% वृद्धि। ब्याज दर 8% < 10% → कीमत ब्याज दर से अधिक बढ़ रही → अगले वर्ष निकालना बेहतर।

📌 Numerical MCQ: Hotelling rule implies if r=6%, price next year / price today = ?
(a) 1.06   (b) 0.94   (c) 1.6   (d) 0.6 → ✔ (a) 1.06

Ernst Engel Engel’s Law (Expenditure shares)

📐 सूत्र: \(\text{Engel coefficient} = \frac{\text{Food expenditure}}{\text{Total expenditure}}\), Income elasticity \(e_f = \frac{\%\Delta Q_f}{\%\Delta Y} < 1\)

🔹 Q1 (Basic)

आय ₹10,000 → ₹12,000; भोजन खर्च ₹4,000 → ₹4,500। भोजन की आय लोच ज्ञात करें।

✅ समाधान: %ΔY = (2000/10000)×100 = 20%; %ΔQ_f = (500/4000)×100 = 12.5%; लोच = 12.5/20 = 0.625 (<1, Engel’s law पुष्टि)

🔸 Q2 (Advanced – budget share)

आय ₹20,000 → भोजन पर ₹8,000 (40%)। आय ₹30,000 होने पर भोजन का नया शेयर क्या होगा यदि लोच 0.6 है?

✅ समाधान: %ΔY = 50%; %ΔQ_f = 0.6×50% = 30%; नया भोजन खर्च = 8000×1.30 = ₹10,400; नया शेयर = 10400/30000 = 34.67%

📌 MCQ: If income doubles and food expenditure increases by 50%, income elasticity is – (a) 1  (b) 0.5  (c) 2  (d) 0 → ✔ (b) 0.5

Jean-Baptiste Say Say’s Law

📐 सिद्धांत: कुल माँग = कुल आपूर्ति (समष्टि पहचान)

🔹 Numerical Q (Macro identity)

एक अर्थव्यवस्था में कुल उत्पादन ₹500 करोड़ है। Say’s Law के अनुसार कुल माँग कितनी होगी?

✅ समाधान: कुल माँग = कुल आपूर्ति = ₹500 करोड़ (सामान्य अधिमाँग नहीं)।

📌 MCQ: If GDP = ₹1000, C=700, I=250, G=50, then according to Say’s law – (a) Excess demand 50 (b) Excess supply 0 (c) Excess demand 100 (d) Excess supply 50 → ✔ (b) Excess supply 0 (1000 = 700+250+50=1000)

David Kreps Reputation · Repeated Prisoner’s Dilemma

📐 सहयोग शर्त (Grim trigger): \(\frac{R}{1-\delta} \geq T + \frac{\delta P}{1-\delta}\)

🔹 Q (Prisoner’s dilemma repeated)

Payoffs: (C,C)=3,3; (C,D)=0,5; (D,C)=5,0; (D,D)=1,1 । δ=0.9। अनंत पुनरावृत्ति में क्या सहयोग संभव?

✅ समाधान: Grim trigger: \(\frac{3}{1-0.9} = 30 \geq 5 + \frac{0.9}{0.1}\times 1 = 5+9=14\) → सहयोग संभव ✅

📌 MCQ: In repeated game, cooperation possible if discount factor δ ≥ ? For PD with payoffs above – δ ≥ (5-3)/(5-1)=2/4= 0.5

Raymond Vernon Product Life Cycle (PLC)

📐 निर्यात हिस्से में बदलाव (नवप्रवर्तक देश का पतन)

🔹 Q (Export share shift)

Stage 1: देश A का निर्यात हिस्सा 80%, B का 10%। Stage 4: देश C का 70%, A का 10%। A के हिस्से में गिरावट?

✅ समाधान: 80% → 10% = 70 अंक की गिरावट (प्रतिशत अंक)

📌 MCQ: If innovation country's export share falls from 90% to 20% over PLC, its loss is – (a) 70% points (b) 70% (c) 350% (d) 0.77 → ✔ (a) 70% points

Irving Fisher Quantity Theory & Fisher Equation

📐 \(MV = PY\),  \(i = r + \pi^e\)

🔹 Q1 (Basic QTM)

M=₹2000, V=4, Y=500 इकाइयाँ। कीमत स्तर P ज्ञात करें।

✅ समाधान: \(P = (2000 \times 4)/500 = 8000/500 = 16\)

🔸 Q2 (Money growth and inflation)

M 5% बढ़े, Y 2% बढ़े, V स्थिर। मुद्रास्फीति दर?

✅ समाधान: %ΔP = %ΔM + %ΔV – %ΔY = 5% + 0 – 2% = 3%

🔸 Q3 (Fisher Equation)

वास्तविक ब्याज दर 4%, मुद्रास्फीति 6% → नाममात्र ब्याज दर?

✅ समाधान: \(i = 4\% + 6\% = 10\%\)

📌 MCQ: If M=100, V=5, Y=200, P=? → (a) 2.5 (b) 0.4 (c) 1000 (d) 500 → ✔ (a) 2.5 (P=(100×5)/200=2.5)

Alvin Hansen IS-LM Model (Numerical)

📐 IS: \(Y = C(Y-T)+I(r)+G\) ,  LM: \(M/P = kY - hr\)

🔹 Q1 (Equilibrium Y,r)

C=100+0.8Y_d, I=200-10r, G=100, T=100, M/P=100, k=0.2, h=5

✅ समाधान: IS: Y = 100+0.8(Y-100)+200-10r+100 → Y=320+0.8Y-10r → 0.2Y=320-10r → Y=1600-50r …(1)
LM: 100=0.2Y-5r → 0.2Y=100+5r → Y=500+25r …(2)
1600-50r=500+25r → 1100=75r → r≈14.67, Y=500+25×14.67=866.75

🔸 Q2 (Slope of LM)

k=0.5, h=10, LM slope = ?

✅ समाधान: LM slope = k/h = 0.5/10 = 0.05

📌 MCQ: LM eqn: M/P=0.4Y-20r, M/P=80, slope at Y=400 → (a) 0.02 (b) 2 (c) 0.5 (d) 0.2 → ✔ (a) 0.02 (slope=0.4/20=0.02)

Lawrence Klein Klein’s Model I (संख्यात्मक अनुमान)

📐 \(C_t = a_0 + a_1 P_t + a_2 W_t^p\) , \(I_t = b_0 + b_1 P_t + b_2 K_{t-1}\), \(P_t = C_t+I_t+G_t\)

🔹 Q (Predicted C)

\(\hat{C}=12+0.6P+0.4W^p\), P=50, W^p=100 → C= ?

✅ समाधान: C = 12 + 0.6×50 + 0.4×100 = 12+30+40 = 82

📌 MCQ: Klein model: P=40, Wp=80, a1=0.5, a2=0.3, a0=10 → C = ? (a) 10+20+24=54 → ✔ 54

Trygve Haavelmo Simultaneous Equations Bias

📐 Bias = \(\frac{Cov(X,\epsilon)}{Var(X)}\) → OLS inconsistent

🔹 Q (Bias direction)

True model Y=βX+ε, लेकिन X अंतर्जात, ε सहसंबद्ध। OLS का पूर्वाग्रह?

✅ समाधान: \(\hat{\beta}\) असंगत, bias \( \neq 0 \)

📌 MCQ: If true β=2, OLS gives β=1.5, bias = ? (a) 0.5 (b) -0.5 (c) 1.5 (d) 2 → ✔ (b) -0.5

Jan Tinbergen Policy Instrument-Target Rule

📐 Tinbergen Golden Rule: साधनों की संख्या ≥ लक्ष्यों की संख्या

🔹 Q1 (Basic)

2 लक्ष्य (मुद्रास्फीति 2%, बेरोजगारी 4%)। कितने स्वतंत्र साधन चाहिए?

✅ समाधान: कम से कम 2 स्वतंत्र साधन (मुद्रा आपूर्ति, कर दर आदि)

🔸 Q2 (Numerical goal achievement)

π = a – bM + cG, u = d + eM – fG ; लक्ष्य π=2,u=4 → M,G हल करें (यदि अज्ञात संख्याएँ ज्ञात हों)

✅ समाधान: दो समीकरण, दो अज्ञात → हल संभव यदि determinant ≠0

📌 MCQ: Tinbergen rule states that to achieve N policy targets, minimum instruments required – (a) N (b) N-1 (c) N+1 (d) 2N → ✔ (a) N

Ragnar Frisch Impulse-Propagation Model

📐 \(Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta Y_{t-2} + \epsilon_t\) (propagation), \(\epsilon_t\) = shock

🔹 Q (Cycle generation)

α=1.2, β=-0.5, Y0=100, Y1=100, ε2=10 (बाद ε=0)। Y2, Y3, Y4 ज्ञात करें।

✅ समाधान: \(Y_2 = 1.2×100 -0.5×100 +10 = 120-50+10=80\)
\(Y_3 = 1.2×80 -0.5×100 = 96-50=46\)
\(Y_4 = 1.2×46 -0.5×80 = 55.2-40=15.2\)

📌 MCQ: α=1, β=-0.8, shock ε=5, cycle will be – (a) Explosive (b) Damped (c) Steady (d) Irregular → characteristic roots → ✔ (b) Damped

📊 Numerical MCQs – Mixed Practice (सभी 11 अर्थशास्त्रियों के लिए)

1. Hotelling Rule: P0=80, r=10%, P2 = ? → 80×1.21 = 96.8
2. Engel’s Law: Income rises 25%, food expenditure rises 15% → income elasticity = 15/25 = 0.6
3. Say’s Law: GDP=500, C=300, I=150, G=50 → excess = 0
4. Fisher Equation: r=3%, i=8% → π = 8-3 = 5%
5. IS-LM: C=50+0.6Yd, I=100-4r, G=80, T=50, M=150, k=0.5, h=10 → Y = ? (हल: IS: Y=550-10r, LM: Y=300+20r → Y≈466.67)
6. Klein model: C=15+0.7P+0.3Wp, P=60, Wp=90 → C = 15+42+27 = 84
7. Haavelmo bias: True β=3, OLS β=2.5 → bias = -0.5
8. Tinbergen rule: 3 targets → minimum 3 instruments
9. Frisch impulse-propagation: Yt=1.5Yt-1-0.6Yt-2+ε → स्थिरता हेतु roots विश्लेषण आवश्यक

🎯 एक पंक्ति में सूत्र (All Formulas at a Glance)

अर्थशास्त्री	सूत्र / संकेतन
Hotelling	\(P_t = P_0(1+r)^t\)
Engel	\(e_f = \frac{\%\Delta Q_f}{\%\Delta Y} < 1\)
Fisher	\(MV=PY,\quad i=r+\pi^e\)
Hansen (IS-LM)	LM slope = \(k/h\), IS slope = \(-\frac{1-MPC}{MPC \cdot b}\)
Tinbergen	Instruments \(\geq\) Targets
Klein	\(C = a_0 + a_1P + a_2W^p\)
Frisch	\(Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta Y_{t-2} + \epsilon_t\)

✅ अभ्यास हेतु नोट: सभी प्रश्न UGC NET, JRF, CUET-PG, MA Economics स्तर के हैं। प्रत्येक सिद्धांत के लिए सूत्र → उदाहरण → समाधान पूर्ण रूप से दिया गया है।
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