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अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, जनसांख्यिकी, गणित, और वित्त – 130 सूत्र · पूर्ण गणितीय रूप (LaTeX) · कोई भी सूत्र नहीं छूटा
🟢 खंड 1: AP, GP, HP, AM, GM, HM (श्रेणी और माध्य)
1 AP (समांतर श्रेणी)
\[ a_n = a + (n-1)d \] \[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + l) \]
2 GP (गुणोत्तर श्रेणी)
\[ a_n = a \cdot r^{\,n-1} \] \[ S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}, \quad r \ne 1 \quad;\quad S_\infty = \frac{a}{1-r}, \ |r| < 1 \]
3 HP (हरात्मक श्रेणी)
\[ a_n = \frac{1}{a + (n-1)d} \]
4 तीन पदों में मध्य पद
\[ \text{AP में: } B = \frac{A+C}{2} \quad;\quad \text{GP में: } B = \sqrt{AC} \quad;\quad \text{HP में: } B = \frac{2AC}{A+C} \]
5 AM, GM, HM (दो संख्याओं के लिए)
\[ AM = \frac{a+b}{2}, \quad GM = \sqrt{ab}, \quad HM = \frac{2ab}{a+b} \]
6 AM, GM, HM में संबंध
\[ AM \ge GM \ge HM \] \[ (GM)^2 = AM \times HM \] \[ \frac{1}{AM} + \frac{1}{HM} = \frac{2}{GM} \]
🟡 खंड 2: सांख्यिकी – माध्य, माध्यिका, बहुलक, चतुर्थक, विचलन
7 माध्य (Mean)
\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \]
8 माध्यिका – अवर्गीकृत
\[ \text{Median} = \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\text{th}} \text{term} \]
9 माध्यिका – वर्गीकृत
\[ \text{Median} = L + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times h \]
10 बहुलक (अनुभवजन्य)
\[ \text{Mode} = 3\times\text{Median} - 2\times\text{Mean} \]
11-12 Q₁, Q₃ (वर्गीकृत)
\[ Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \times h, \quad Q_3 = L + \frac{\frac{3N}{4} - cf}{f} \times h \]
13 चतुर्थक विचलन (QD)
\[ QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \]
14 चतुर्थक गुणांक
\[ \text{Coeff. of QD} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1} \]
15 परिसर (Range)
\[ \text{Range} = L - S, \quad \text{Coeff. of Range} = \frac{L - S}{L + S} \]
16-17 माध्य विचलन (MD)
\[ MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}, \quad \text{Coeff. of MD} = \frac{MD}{\bar{x}} \]
18 प्रसरण – जनसंख्या
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \]
19 प्रसरण – सैंपल
\[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]
20-22 मानक विचलन, CV
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}, \quad CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \]
23 QD, MD, SD में संबंध
\[ QD \approx \frac{2}{3} SD, \quad QD \approx \frac{5}{6} MD, \quad MD \approx \frac{4}{5} SD \]
24 सामान्य वितरण में Q₁, Q₃
\[ Q_1 = \mu - 0.675\sigma, \quad Q_3 = \mu + 0.675\sigma \]
🔵 खंड 3: स्क्यूनिस (Skewness) और कुर्तोसिस (Kurtosis)
25 पियर्सन स्क्यूनिस
\[ SK = \frac{\text{Mean} - \text{Mode}}{\sigma}, \quad SK = \frac{3(\text{Mean} - \text{Median})}{\sigma} \]
26 बोले स्क्यूनिस
\[ SK = \frac{Q_3 + Q_1 - 2Q_2}{Q_3 - Q_1} \]
27 केली स्क्यूनिस
\[ SK = \frac{P_{90} + P_{10} - 2P_{50}}{P_{90} - P_{10}} \]
28 मोमेंट्स (Moments)
\[ \mu_r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^r}{N}, \quad \mu_1=0, \ \mu_2=\sigma^2, \ \mu_3=\text{skewness}, \ \mu_4=\text{kurtosis} \]
29-30 β₁, β₂
\[ \beta_1 = \frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}, \quad \beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} \]
🟣 खंड 4: सहप्रसरण, सहसंबंध, प्रतिगमन
31-34 सहप्रसरण (Covariance)
\[ \text{Cov}(x,y) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} = \frac{\sum xy}{n} - \bar{x}\bar{y} \] \[ \text{Cov}_p = \frac{\sum (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{N}, \quad \text{Cov}_s = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1} \]
35 पियर्सन r – योग रूप
\[ r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}} \]
36-37 r – विचलन / Cov & SD
\[ r = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \sum (y_i-\bar{y})^2}} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y} \]
38-40 प्रतिगमन गुणांक
\[ b_{yx} = r\frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x^2}, \quad b_{xy} = r\frac{\sigma_x}{\sigma_y} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_y^2}, \quad r = \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}} \]
42-43 प्रतिगमन रेखाएँ
\[ Y - \bar{Y} = b_{yx}(X - \bar{X}), \quad X - \bar{X} = b_{xy}(Y - \bar{Y}) \]
🔴 खंड 5: संभावित त्रुटि (P.E.) और मानक त्रुटि (S.E.)
44-45 P.E. और महत्व परीक्षण
\[ P.E. = 0.6745 \times \frac{1 - r^2}{\sqrt{n}}, \quad |r| > 6\times P.E. \Rightarrow \text{Significant} \]
46 माध्य की SE
\[ SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
47 FPC के साथ SE
\[ SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \]
48 प्रसरण की SE
\[ SE(\sigma^2) = \sigma^2 \sqrt{\frac{2}{n}} \]
🟠 खंड 6: प्रायिकता और द्विपद वितरण
49-52 प्रायिकता नियम
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \ (\text{exclusive}), \quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \] \[ P(A')=1-P(A), \quad P(A\cap B)=P(A)P(B) \ (\text{independent}) \]
53 द्विपद वितरण
\[ P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}, \quad q=1-p \]
54 द्विपद का माध्य व प्रसरण
\[ \mu = np, \quad \sigma^2 = npq, \quad \sigma = \sqrt{npq} \]
🟤 खंड 7: सूचकांक (Index Numbers)
55 लास्पेयर्स
\[ P_L = \frac{\sum p_n q_0}{\sum p_0 q_0} \times 100 \]
56 पाश्चे
\[ P_P = \frac{\sum p_n q_n}{\sum p_0 q_n} \times 100 \]
57 फिशर आदर्श
\[ P_F = \sqrt{P_L \times P_P} \times 100 \]
58-61 डॉर्बिश-बोले, मार्शल-एजवर्थ, केली, मूल्य सूचकांक
\[ P_{DB} = \frac{P_L+P_P}{2}, \quad P_{ME} = \frac{\sum p_n(q_0+q_n)}{\sum p_0(q_0+q_n)}\times 100, \quad P_K = \frac{\sum p_n q}{\sum p_0 q}\times 100, \quad V = \frac{\sum p_n q_n}{\sum p_0 q_0}\times 100 \]
⚫ खंड 8: राजस्व, लोच, लाभ
62-64 TR, AR, MR
\[ TR = P\times Q, \quad AR = \frac{TR}{Q}=P, \quad MR = \frac{\Delta TR}{\Delta Q} \]
65-67 MR, P और ed
\[ MR = P\left(1-\frac{1}{e_d}\right), \quad P-MR = \frac{P}{e_d}, \quad e_d = \frac{AR}{AR-MR} \]
68 चाप लोच
\[ e_d = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \times \frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2} \]
69 क्रॉस लोच
\[ E_{xy} = \frac{\Delta Q_x}{\Delta P_y} \times \frac{P_y}{Q_x} \]
70 लाभ प्रतिशत
\[ \text{Profit\%} = \frac{\text{Profit}}{\text{Cost}} \times 100 \]
🟥 खंड 9: मुद्रा, बैंकिंग, मुद्रा सृजन
71-72 CRR, SLR
\[ CRR = \frac{\text{Cash Reserves}}{\text{NDTL}} \times 100, \quad SLR = \frac{\text{Liquid Assets}}{\text{NDTL}} \times 100 \]
73-74 मुद्रा गुणक और सृजन
\[ m = \frac{1}{CRR}, \quad \text{Total Money} = \text{Initial Deposit} \times \frac{1}{CRR} \]
75 सीनियोरेज
\[ \text{Seigniorage} = \text{Face Value} - \text{Cost to Produce} \]
🟨 खंड 10: बजट घाटा और गुणक
76-78 राजस्व, राजकोषीय, प्राथमिक घाटा
\[ \text{Rev. Deficit} = \text{Rev. Exp.} - \text{Rev. Receipts} \] \[ \text{Fiscal Deficit} = \text{Total Exp.} - \text{Total Receipts (excl. borrowings)} \] \[ \text{Primary Deficit} = \text{Fiscal Deficit} - \text{Interest Payments} \]
79-83 गुणक (Multipliers)
\[ k = \frac{1}{1-MPC}, \quad k = \frac{1}{1-c(1-t)}, \quad k = \frac{1}{1-MPC+MPM}, \quad k = \frac{1}{1-c(1-t)+MPM}, \quad k = \frac{1}{1-MPC-MPI} \]
🟩 खंड 11: व्यापार की शर्तें (TOT)
84-86 शुद्ध, सकल, आय TOT
\[ TOT = \frac{P_x}{P_m} \times 100, \quad \text{Gross Barter} = \frac{Q_m}{Q_x}, \quad \text{Income TOT} = \frac{P_x}{P_m} \times Q_x \]
🟪 खंड 12: जनसांख्यिकी – जन्म, मृत्यु, जीवन सारणी
87-90 CBR, GFR, IMR, CDR
\[ CBR = \frac{\text{Live Births}}{\text{Mid-Year Pop}}\times 1000, \ GFR = \frac{\text{Live Births}}{\text{Women 15-49}}\times 1000, \ IMR = \frac{\text{Infant Deaths}}{\text{Live Births}}\times 1000, \ CDR = \frac{\text{Deaths}}{\text{Mid-Year Pop}}\times 1000 \]
91-93 निर्भरता अनुपात
\[ DR = \frac{0-14 + 65+}{15-64}\times 100, \quad \text{Child DR} = \frac{0-14}{15-64}\times 100, \quad \text{Old Age DR} = \frac{65+}{15-64}\times 100 \]
94-98 जीवन सारणी: dₓ, qₓ, Lₓ, Tₓ, eₓ⁰
\[ d_x = l_x - l_{x+1}, \quad q_x = \frac{d_x}{l_x}, \quad L_x = \frac{l_x + l_{x+1}}{2}, \quad T_x = L_x + L_{x+1} + \dots, \quad e_x^0 = \frac{T_x}{l_x} \]
⬛ खंड 13: श्रम बल, रोज़गार, बेरोज़गारी
99-100 LFPR, बेरोज़गारी दर
\[ LFPR = \frac{\text{Labor Force}}{\text{Adult Population}}\times 100, \quad UR = \frac{\text{Unemployed}}{\text{Labor Force}}\times 100 \]
🟧 खंड 14: राष्ट्रीय आय
101-106 GDP, GNP, NNP, Deflator, प्रति व्यक्ति वृद्धि
\[ GDP_{MP} = C+I+G+(X-M), \quad GDP_{FC} = GDP_{MP} - \text{Net Indirect Taxes} \] \[ GNP_{MP} = GDP_{MP} + NFIA, \quad NNP_{MP} = GNP_{MP} - \text{Depreciation} \] \[ \text{GDP Deflator} = \frac{\text{Nominal GDP}}{\text{Real GDP}} \times 100, \quad g_{pc} = g_{GDP} - g_{pop} \]
🟦 खंड 15: वित्तीय अनुपात
107-112 ऋण, लीवरेज, तरलता, प्रतिधारण, चालू, त्वरित अनुपात
\[ \text{Debt Ratio} = \frac{\text{Total Debt}}{\text{Total Assets}}, \quad \text{Leverage} = \frac{\text{Debt}}{\text{Equity}}, \quad \text{Liquidity} = \frac{\text{Liquid Assets}}{\text{Total Assets}} \] \[ \text{Retention} = \frac{\text{Retained Profit}}{\text{Total Profit}}, \quad \text{Current Ratio} = \frac{CA}{CL}, \quad \text{Quick Ratio} = \frac{CA - \text{Inventory}}{CL} \]
🟥 खंड 16: सम-विच्छेद विश्लेषण
113-117 BEP, Contribution Ratio, MOS, Profit
\[ BEP_{units} = \frac{TFC}{AR-AVC}, \quad BEP_{₹} = \frac{TFC}{\text{Contribution Ratio}}, \quad \text{Contribution Ratio} = \frac{S-TVC}{S} \] \[ MOS = \text{Actual Sales} - BEP, \quad \text{Profit} = MOS \times \text{Contribution Ratio} \]
🟫 खंड 17: क्रमचय, संचय, श्रेणियाँ
118-121 Permutation, Combination, Sum of naturals, AGP
\[ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}, \quad ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}, \quad 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \] \[ S = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \dots \]
🟪 खंड 18: स्वतंत्रता की कोटि और परीक्षण
122 df (Chi-square)
\[ df = (r-1)(c-1) \]
123 t-परीक्षण
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu}{SE} \]
⬛ खंड 19: अन्य महत्वपूर्ण सूत्र
124-130 Organic Composition, Elasticity of Substitution, Perpetuity, Efficient Estimator, Value of Output, Real Exchange Rate, Yamane Formula
\[ \frac{C}{V}, \quad \sigma = \frac{\%\Delta(K/L)}{\%\Delta MRTS}, \quad \text{Perpetuity Value} = \frac{C}{r}, \quad E(\hat{\theta})=\theta, \ \text{Var}(\hat{\theta})=\text{minimum} \] \[ \text{Value of Output} = \text{Sales} + \Delta \text{Stock}, \quad RER = \frac{\text{Nominal ER} \times P_{\text{domestic}}}{P_{\text{foreign}}}, \quad n = \frac{N}{1+N(e)^2} \]
📐 Baumol‑Tobin वर्गमूल सूत्र
व्याज आय का नुकसान (Forgone Interest Income) · इष्टतम नकदी शेष · Serial Wise 131
🔢 Serial Number : 131
\[
C^* = \sqrt{\frac{2bY}{i}}
\]
📌 Baumol‑Tobin मॉडल (Square Root Formula)
\( C^* \) = इष्टतम नकदी शेष (Optimal Cash Balance)
\( b \) = लेन-देन की लागत (Transaction Cost)
\( Y \) = आय (Income)
\( i \) = ब्याज दर (Interest Rate)
\( C^* \) = इष्टतम नकदी शेष (Optimal Cash Balance)
\( b \) = लेन-देन की लागत (Transaction Cost)
\( Y \) = आय (Income)
\( i \) = ब्याज दर (Interest Rate)
🔢 Serial Number : 131a
\[
\text{Forgone Interest Income} = i \times \frac{C^*}{2}
\]
💰 व्याज आय का नुकसान (Forgone Interest Income)
जब कोई व्यक्ति या फर्म नकदी रखता है, तो वह बैंक में जमा करके मिलने वाला ब्याज खो देता है।
औसत नकदी शेष = \( \frac{C^*}{2} \) → खोई हुई ब्याज आय = \( i \times \frac{C^*}{2} \)
जब कोई व्यक्ति या फर्म नकदी रखता है, तो वह बैंक में जमा करके मिलने वाला ब्याज खो देता है।
औसत नकदी शेष = \( \frac{C^*}{2} \) → खोई हुई ब्याज आय = \( i \times \frac{C^*}{2} \)
📘 उदाहरण (Example)
मान लीजिए:
b (Transaction Cost) = ₹100
Y (Income) = ₹10,000
i (Interest Rate) = 0.10 (10%)
\[
C^* = \sqrt{\frac{2 \times 100 \times 10000}{0.10}} = \sqrt{\frac{20,00,000}{0.10}} = \sqrt{2,00,00,000} \approx 4472 \text{ रु}
\]
\[
\text{Forgone Interest Income} = 0.10 \times \frac{4472}{2} = 0.10 \times 2236 = 223.6 \text{ रु}
\]
✅ इस प्रकार, इष्टतम नकदी शेष लगभग ₹4472 रखने पर व्याज आय का नुकसान ₹223.6 होगा।
🔍 यह सूत्र क्या है?
यह अर्थशास्त्र / वित्त में ब्याज आय के नुकसान (Forgone Interest Income) और इष्टतम नकदी शेष से संबंधित है।
यह Hoarding (पैसा जमा करके रखना) या Idle Balance के संदर्भ में आता है।
वर्गमूल (Square Root) Baumol‑Tobin के Cash Management Model से लिया गया है।
यह अर्थशास्त्र / वित्त में ब्याज आय के नुकसान (Forgone Interest Income) और इष्टतम नकदी शेष से संबंधित है।
यह Hoarding (पैसा जमा करके रखना) या Idle Balance के संदर्भ में आता है।
वर्गमूल (Square Root) Baumol‑Tobin के Cash Management Model से लिया गया है।
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