AP GP HP AM HM GM

📊 AP · GP · HP · AM · GM · HM

सम्पूर्ण तुलनात्मक अध्ययन | परीक्षा के लिए एकमात्र नोट्स ✅

🔹 सभी Symbols, सूत्र, माध्य, संबंध, ट्रिक्स और उदाहरण – एक भी बात नहीं छूटी

🔣 भाग 1: Symbols और उनके अर्थ बिना ये समझे कुछ नहीं समझोगे

Symbol	नाम	कहाँ उपयोग	उदाहरण
a	पहला पद	AP, GP, HP, AM, GM, HM	AP: 3,7,11,... में a=3
d	सार्व अंतर (Common Difference)	केवल AP में	AP: 3,7,11 में d=4
r	सार्व अनुपात (Common Ratio)	केवल GP में	GP: 3,6,12 में r=2
n	पदों की संख्या	AP, GP, HP के योग/पद	n=5 → पहले 5 पद
aₙ / Tₙ	nवाँ पद	किसी भी श्रेणी का nवाँ पद	a₃ = तीसरा पद
Sₙ	पहले n पदों का योग	AP, GP में	S₃ = पहले 3 का योग
A, B, C	तीन लगातार पद	AP, GP, HP के मध्य पद	AP: A=2, B=4, C=6

📈 भाग 2: AP, GP, HP – तुलनात्मक टेबल

विषय	AP (समांतर श्रेणी)	GP (गुणोत्तर श्रेणी)	HP (हरात्मक श्रेणी)
परिभाषा	a_{n+1} - a_n = d	a_{n+1} / a_n = r	1/a_n, AP में होते हैं
सामान्य पद (nवाँ)	a_n = a + (n-1)d	a_n = a·r^{n-1}	a_n = 1 / [a + (n-1)d]
पहले n पदों का योग	S_n = n/2 [2a + (n-1)d]	S_n = a(1-rⁿ)/(1-r), r≠1	कोई सीधा सूत्र नहीं
अनंत पदों का योग	अनंत तक नहीं जाता	S∞ = a/(1-r), |r|<1	—
तीन पदों में मध्य पद	B = (A+C)/2	B = √(AC)	B = 2AC/(A+C)
उदाहरण	2,5,8,11 (d=3)	3,6,12,24 (r=2)	1, 1/2, 1/3, 1/4

📐 भाग 3: AM, GM, HM – तुलनात्मक टेबल

माध्य	दो संख्याओं a, b के लिए	n संख्याओं के लिए	कब उपयोग करें?
AM (समांतर माध्य)	(a+b)/2	(∑xᵢ)/n	सामान्य औसत, अंक, तनख्वाह
GM (गुणोत्तर माध्य)	√(ab)	(x₁x₂…xₙ)^{1/n}	प्रतिशत वृद्धि, अनुपात, ज्यामिति
HM (हरात्मक माध्य)	2ab/(a+b)	n / (∑1/xᵢ)	चाल, समय, औसत गति

⚡ भाग 4: तीनों माध्यों के बीच महत्वपूर्ण संबंध (बहुत जरूरी)

🟢 AM ≥ GM ≥ HM 🟢
(बराबर तभी जब a = b या सभी संख्याएँ बराबर हों)

✨ (GM)² = AM × HM ✨

🧠 भाग 5: तीन पद लिखने की ट्रिक (Exam में समय बचाएगी)

📌 AP → a-d, a, a+d

📌 GP → a/r, a, ar

📌 HP → 1/(a-d), 1/a, 1/(a+d)
(पहले व्युत्क्रम AP लिखो)

📝 भाग 6: Exam में पूछे जाने वाले Typical Questions (हल सहित)

✅ Q1: दो संख्याओं का AM = 10, GM = 8, HM = ?
HM = (GM)²/AM = 64/10 = 6.4

✅ Q2: AM = 5, HM = 3.2, GM = ?
GM = √(AM × HM) = √(5×3.2) = √16 = 4

✅ Q3: AM = 25, GM = 20, तो संख्याएँ ज्ञात करो।
a+b=50, √(ab)=20 → ab=400 → t² - 50t + 400 =0 → t=40,10 → 40 और 10

✅ Q4: यदि a, b, c GP में हैं, तो सिद्ध करो b ≤ (a+c)/2
b=√(ac), (a+c)/2 ≥ √(ac) (AM≥GM से) → अतः b ≤ (a+c)/2

✅ Q5: किन शर्तों पर AM = GM = HM?
जब सभी संख्याएँ बराबर हों।

⚠️ भाग 7: Common Mistakes (जान लोगे तो नंबर नहीं कटेंगे)

❌ गलत धारणा: HP का सीधा nवाँ पद सूत्र होता है

✅ सही तथ्य: नहीं, पहले व्युत्क्रम का AP लिखो

❌ Sₙ के सूत्र में r>1 और r<1 दोनों एक ही हैं

✅ S_n = a(1-rⁿ)/(1-r) या a(rⁿ-1)/(r-1) – दोनों सही

❌ AM, GM, HM का क्रम कुछ भी हो सकता है

✅ हमेशा AM ≥ GM ≥ HM

❌ GM ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी परिभाषित है

✅ नहीं, a, b > 0 होने चाहिए

❌ d और r कभी ऋणात्मक नहीं हो सकते

✅ हो सकते हैं (AP: d=-2, GP: r=-3)

📑 भाग 8: एक पेज में पूरा Revision (छापकर रख लो)

╔══════════════════════════════════════════════════════╗
║ AP : a, a+d, a+2d,... ║
║ an = a + (n-1)d ║
║ Sn = n/2 [2a + (n-1)d] ║
╠══════════════════════════════════════════════════════╣
║ GP : a, ar, ar²,... ║
║ an = a r^(n-1) ║
║ Sn = a(1-r^n)/(1-r), S∞ = a/(1-r) (|r|<1) ║
╠══════════════════════════════════════════════════════╣
║ HP : 1/a, 1/(a+d), 1/(a+2d),... ║
║ an = 1/[a + (n-1)d] ║
╠══════════════════════════════════════════════════════╣
║ AM = (a+b)/2, GM = √(ab), HM = 2ab/(a+b) ║
║ AM ≥ GM ≥ HM, (GM)² = AM × HM ║
╠══════════════════════════════════════════════════════╣
║ तीन पद AP : a-d, a, a+d ║
║ तीन पद GP : a/r, a, ar ║
║ तीन पद HP : 1/(a-d), 1/a, 1/(a+d) ║
╚══════════════════════════════════════════════════════╝

✍️ भाग 9: आपके लिए अभ्यास प्रश्न (खुद हल करो)

1️⃣ दो संख्याओं का GM = 12, HM = 9.6, AM = ?

2️⃣ यदि a, b, c AP में हैं, तो 1/b, 1/c किस श्रेणी में होंगे?

3️⃣ 4 और 16 के AM, GM, HM निकालो।

4️⃣ GP का तीसरा पद 24 और छठा पद 192 है, तो a और r ज्ञात करो।

5️⃣ AP में 5वाँ पद 15 और 8वाँ पद 27 है, तो पहला पद और अंतर बताओ।

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🔍 उत्तर (चेक करें)

1) AM = (GM²)/HM = 144/9.6 = 15
2) 1/a, 1/b, 1/c → HP में होंगे (क्योंकि a,b,c AP में)
3) AM=10, GM=8, HM=6.4
4) ar²=24, ar⁵=192 → r³=8 → r=2, a=6
5) a+4d=15, a+7d=27 → 3d=12 → d=4, a= -1

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